目录L2(Rn) 上的 Fourier 变换Schwartz 空间L2(Rn) 上的 Fourier 变换 利用 Fourier 逆变换, 我们可以在 L2 上定义 Fourier 变换. 注意到, 对于 f∈L2(Rn), 积分∫Rne−ix⋅ξf(x)dx可能并没有定义, 比如 R1 上的函数f(x)=1+∣x∣1.
注意到, C0∞(Rn)⊂L2(Rn) 是稠密的子空间. 我们任意选取 f∈C0∞(Rn), 很明显, f∈L1(Rn) (因为光滑性意味着衰减很快, 所以可积) . 另外, 我们有f(ξ)=∫Rneix⋅ξf(x)dx=(2π)nF−1(f)(ξ).所以, 我们有∥f(ξ)∥L22=∫Rnf(ξ)f(ξ)dξ=(2π)n∫Rnf(ξ)F−1(f(ξ))dξ=(2π)n∫Rnf(x)F(F−1(f(ξ)))(x)dx=(2π)n∫Rnf(x)f(x)dx.从而, ∥f(ξ)∥L2=(2π)2n∥f∥L2.这表明定义在 L2(Rn) 的稠密的子空间 C0∞(Rn) 上的 Fourier 变换F:C0∞(Rn)→L2(Rn), f↦f是连续的.
C0∞(Rn)L2(Rn)L2(Rn)ιFF
根据连续线性映射扩张的定理, 我们就证明了
定理 67.1 (L2 上的 Fourier 变换与 Planchrel 公式). 我们可以定义 Fourier 变换 F: F:L2(Rn)→L2(Rn)使得(2π)2nF:L2(Rn)⟶L2(Rn)是等距同构.
特别地, 对于 f∈L1(Rn)∩L2(Rn), 我们有∥f∥L22=(2π)n∥f∥L22.通过极化, 我们有对任意的 f,g∈L2(Rn), 我们有(f,g)L2=(2π)n(f,g)L2.
证明. 上述一切叙述对 C0∞(Rn) 是成立的. 对一般的 f∈L2(Rn), 用 C0∞(Rn) 中函数逼近即可. □
注记. 上面的定理定义了 f∈L2(Rn) 的 Fourier 变换, 为了行文清楚, 我们暂且把 L2 意义下的 Fourier 变换记作 F2. 另外, 对于 g∈L1(Rn), 它的 Fourier 变换是可以用 Fourier 积分表示的, 我们把它记做 F1, 也就是说F1(g)(ξ)=∫Rng(x)e−ix⋅ξdx.那么, 对于 f∈L1(Rn)∩L2(Rn), 我们有F1(f)=F2(f).这个有趣的验证我们留作作业.
例子. 考虑 R1 上的 L2-函数u(x)=(1+∣x∣)−α,其中, 21<α⩽1. 很明显, 我们知道 e−ixξu(x)∈/L1(Rx), 所以我们不能直接用 L1-函数的 Fourier 积分来写它的 Fourier 变换. 然而, 我们知道un(x)=u(x)1∣x∣⩽n是 L1 的, 我们可以先显式写下 un 的 Fourier 变换. 由于序列 {un}n⩾1 在 L2 中逼近 u, 所以, 我们有u=L2n→∞limun.
练习. 证明, 对任意的 f∈L2(Rn), 我们都有f^=(2π)nfˇ ⇔ F2(f)=(2π)nfˇ.
Schwartz 空间 对任意的给定的函数 f, 对任意的多重指标 α, 我们采用如下的符号: xαf(x)=x1α1⋯xnαnf(x1,⋯,xn).
定义 67.2 (Schwartz 空间). 函数 φ 是 Rn 上的光滑函数. 如果 φ 满足如下的条件: 对任意的多重指标 α, β, 我们都有xα∂βφ(x)∈L∞(Rn),那么, 我们就称 φ 是一个 Schwartz 函数或者是一个速降的函数. 我们把 Rn 上所有的 Schwartz 函数所构成的线性空间称作是 Schwartz 空间, 并记作 S(Rn).
对于每个非负整数 p∈Z⩾0, 我们定义如下的 (一族) 范数: Np(φ)=∣β∣⩽p∣α∣⩽p,∑∥xα∂βφ(x)∥L∞(Rn).
在 S(Rn) 上, 我们规定如下的收敛性 (拓扑) : 给定 Schwartz 函数的序列 {φk}k=1,2,⋯⊂S(Rn), 它收敛到 Schwartz 函数 φ∈S(Rn), 指的是对任意的非负整数 p, 我们都有k→∞limNp(φk−φ)=0.我们把这个极限简写成φk⟶S(Rn)φ.
例子. 我们已经见过很多 Schwartz 函数
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D(Rn)⊂S(Rn);
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e−∣x∣2∈S(Rn);
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对于 Schwartz 函数 φ∈S(Rn), 对它求若干次导数或者乘以一个多项式仍然是一个 Schwartz 函数, 即对任意的多重指标 α,β, 我们有xα:∂β:S(Rn)→S(Rn),S(Rn)→S(Rn).
上面例子的验证我们留作作业.
给定一个 Schwartz 函数, 我们对它有如下的估计: 对于任何的多重指标 α 和 β, 其中 ∣α∣,∣β∣⩽p, 我们有∣(1+∣x∣)n+1xα∂βφ(x)∣⩽Np+n+1(φ),其中, n 是空间的维数. 从而, 对任意的 x∈Rn, 我们有∣xα∂βφ(x)∣⩽(1+∣x∣)n+1Np+n+1(φ).上式右边的函数是可积的, 所以, ∥xα∂βφ(x)∥L1(Rn)⩽CnNp+d+1(φ).特别地, 我们可以对 xα∂βφ(x) 用 Fourier 积分来定义其 Fourier 变换. 作为推论, 我们还知道S(Rn)⊂L1(Rn).
另外, 以上的估计是常用的技巧, 在后面的不少场合都会用到.
定理 67.3. D(Rn) 在 S(Rn) 中是稠密的, 即对任意的 φ∈S(Rn), 存在函数序列 {φk}k⩾1⊂D(Rn), 使得φk⟶S(Rn)φ.
证明. 我们选取有紧支集的光滑函数 χ(x), 使得{χ(x)=1, 0⩽χ(x)⩽1.∣x∣⩽1;对于 φ(x)∈S(Rn), 我们令φk(x)=χ(kx)φ(x)∈D(Rn).我们只要证明, 对任意的非负整数 p, 我们有Np(φk−φ)→0,即可. 对于满足 ∣α∣⩽p, ∣β∣⩽p 的多重指标, 我们有xα∂β(φ−φk)=xα∂β((1−χ(kx))φ)=(1−χ(kx))xα∂βφ−⟶0, k→∞0=γ⩽β∑k∣γ∣1γ!(β−γ)!β!∣ ⋅ ∣⩽Np(φ)xα∂β−γφ(x)(∂γχ)(kx)上式的第二个求和部分有 k−1 这样的衰减因子, 所以极限为 0. 对于第一项, 由于 χ 在半径为 1 的球内部为 1, 所以然而, 我们有∣∣(1−χ(kx))xα∂βφ∣∣⩽1∣x∣⩾k(x)⋅∣x∣−2⋅∣xα+2∂βφ∣⩽k21Np+2(φ)→0.这就完成了证明. □
我们现在研究 Schwartz 函数的 Fourier 变换. 我们已经证明了 S(Rn)⊂L1(Rn), 所以, φ∈S(Rn) 的 Fourier 变换还是可以用积分公式F(φ)(ξ)=φ(ξ)=∫Rnφ(x)e−ix⋅ξdx来表示.
定理 67.4 (S(Rn) 上的 Fourier 变换). 如果 φ∈S(Rn) 是 Schwartz 函数, 那么, φ∈S(Rn). 在 Schwartz 函数空间上的 Fourier 变换: F:S(Rn)⟶S(Rn), φ↦φ(ξ),满足如下的性质: 对任意的 p∈Z⩾0, 存在常数 Cp>0, 使得对每个 φ∈S(Rn), 我们都有Np(φ)⩽CpNp+n+1(φ).特别地, F:S(Rn)⟶S(Rn) 是连续的线性同构, 即对任意的在 S(Rn) 中收敛的函数序列φk⟶Sφ, k→∞,我们有φk⟶Sφ, k→∞.另外, 对任意的 φ∈S(Rn), 我们还有公式∂kφ=iξkf, xkφ=i∂kφ.
证明. 我们首先证明叙述中的最后两个恒等式. 对任意的 Schwartz 函数 φ, 对任意的 k⩽n, 利用分部积分, 我们有∂kφ(ξ)=−∫Rn(−iξk)e−ix⋅ξφ(x)dx=iξkφ(ξ).第二个等式要用 Lebesgue 控制收敛的推论 (积分与求导数可交换) , 我们有∂ξkφ(ξ)=∫Rn(−ixk)e−ix⋅ξφ(x)dx=−ixkφ(ξ).
现在证明定理中的不等式 (从而证明了 Fourier 变换 F 的像也落在 S(Rn) 中) . 固定两个多重指标 α 和 β, 其中 ∣α∣,∣β∣⩽p. 利用已经证明的公式, 我们就有∣ξα∂ξβφ(ξ)∣=∣∂α(xβφ)(ξ)∣⩽∥∂α(xβφ)(x)∥L1⩽CpNp+n+1(φ).Fourier 变换的连续性可以通过这个不等式得到: 对任意给定的 p, 我们有Np(φk−φ)⩽CpNp+n+1(φk−φ)→0,按照定义, 我们就有φk⟶Sφ, k→∞.
最后, 我们来说明 F 是同构. 实际上, 我们可以定义直接考虑 Fourier 变换的逆 F−1, 因为 φ∈L1, 所以之前定义的 F−1 在此也是良好定义的. 此时, 我们已经证明了 F 与 F−1 互为逆映射, 所以命题得证 (F−1 也是连续的) . □
定义 67.5 (缓增的分布). 假设 u∈D′(Rn) 是一个分布. 如果存在非负整数 p 和常数 C>0, 使得对每个 φ∈D(Rn), 我们都有∣⟨u,φ⟩∣⩽CNp(φ),我们就说 u 是一个缓增的分布. 我们用 S′(Rn) 来表示所有缓增分布的集合, 很明显S′(Rn)⊂D′(Rn)是线性子空间.
定理 67.6 (S′(Rn)×S(Rn)→R). 对任意的 u∈S′(Rn), 存在唯一一个线性泛函Tu:S(Rn)→C,使得存在非负整数 p 和常数 C>0, 对每个 φ∈S′(Rn), 我们都有∣∣Tu(φ)∣∣⩽CNp(φ),并且对于任意的 ψ∈D(Rn), 都有Tu(ψ)=⟨u,ψ⟩.在后面的场合, 为了简单起见, 我们仍将此线性泛函的作用记作 ⟨u,⋅⟩.
证明. 利用 D(Rn)⊂S(Rn) 的稠密性, 我们用极限的形式来定义 Tu: 对任意给定的 φ∈S(Rn), 我们选取试验函数序列 {φk}k⩾1⊂D(Rn), 使得φk⟶Sφ.我们令Tu(φ)=k→∞lim⟨u,φk⟩.当然, 我们需要说明上述极限存在并且不依赖于逼近序列的选取.
利用 u∈S′(Rn) 的定义, 存在 C0 和 p0, 使得对任意的 k,ℓ⩾1, 我们都有∣⟨u,φk−φℓ⟩∣⩽C0Np0(φk−φℓ).再利用 φk⟶Sφ 的定义, 我们有Np0(φk−φ)→0.所以, 我们有∣Np0(φk)−Np0(φℓ)∣=Np0(φk−φℓ)⩽Np0(φk−φ)+Np0(φℓ−φ)⟶k,ℓ→∞0.这说明 {⟨u,φk⟩}k⩾1 是 Cauchy 列, 所以所讨论的极限是存在的.
下面再说明这个极限不依赖于逼近序列 {φk}k⩾1⊂D(Rn) 的选取. 假设 {ψk}k⩾1⊂D(Rn) 是另一个逼近序列, 那么, 我们有∣Np0(φk)−Np0(ψk)∣=Np0(φk−ψk)⩽Np0(φk−φ)+Np0(ψk−φ)⟶k→∞0.所以, ∣⟨u,φk⟩−⟨u,ψk⟩∣⩽C0Np0(φk−ψk)→0.所以, k→∞lim⟨u,φk⟩=k→∞lim⟨u,ψk⟩.最后, 我们证明 Tu 所满足的不等式: ∣⟨u,φk⟩∣⩽C0Np0(φk)⩽C0⎝⎛→0, k→∞Np0(φk−φ)+Np0(φ)⎠⎞两边同时取极限, 这就完成了定理的证明. □